Моменты распределения.

Для подробного описания особенностей распределения использу­ются дополнительные характеристики, в частности, определяются мо­менты распределения.

Моментом k-го порядка называется средняя из k-x степеней от­клонений вариантов х от некоторой постоянной величины А:

Моменты распределения.

При использовании в каче­стве весов частот или частостей моменты называются эмпирически­ми, а при использовании вероятностей — теоретическими.



Эмпирический мо­мент k-го порядка:

Моменты распределения.

1. Начальные моменты (М^) получаются, если постоянная вели­чина А равна нулю (Л = О): Моменты распределения.

2. Условные и начальные относительно Х0 моменты (тк) получа­ются при А равном не нулю, а некоторой производной величине Х0 (начало отсчета):

Моменты распределения.

С помощью условных моментов упрощается расчет основных характеристик ряда распределения. При подстановке различных зна­чений k получаем начальные моменты относительно Хо. Так, напри­мер, если k = 1, то:                                       

Моменты распределения.

Из этой формулы вытекает, что х = х0+т1  т.е. средняя арифмети­ческая равна началу отсчета плюс начальный момент первого поряд­ка. Если отклонения i- х0) имеют общий множитель С, то на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислить полученный момент, умножив на этот множитель в соответствующей степени, т.е.:

Моменты распределения.

Отсюда следует, что при k = 1 x=x0+m1*C.

3. Центральные моменты (µ k) получаются, если за постоянную величину А взять среднюю арифметическую (А=х):

Моменты распределения.