Виды степенных средних величин

Средние величины делятся на два больших класса: степенные и структурные. К последним относятся мода и медиана, но наиболее час­то применяются степенные различных видов.

Степенные средние, в зависимости от представления отдельных ве­личин, могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчи­тывается при наличии двух и более статистических величин, располо­женных в произвольном порядке. Общая формула простой средней величины имеет вид

Виды степенных средних величин=Виды степенных средних величин.                                                            (1.11) Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы



*=Виды степенных средних величин                                                         (1.12) При этом обозначено:

Xi – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;

m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:

при m = -1 средняя гармоническая;

при m = 0 средняя геометрическая;

при m = 1 средняя арифметическая;

при m = 2 средняя квадратическая;

при m = 3 средняя кубическая и так далее.

Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида. Так, приняв m = 1, находим, что простая средняя арифметическая величина определяется по формуле

Виды степенных средних величин=Виды степенных средних величин.                                                             (1.13)

Аналогично для взвешенной средней арифметической величины получаем формулу через частоты или через доли (так как Виды степенных средних величин)

Виды степенных средних величин=Виды степенных средних величин.                                            (1.14)

Не представляет трудностей и вывод формул для простых и взвешенных средних квадратических и кубических величин. Несколько сложнее вывод средней гармонической при m = –1. Так, используя формулу (1.11), имеем вначале

Виды степенных средних величингм = Виды степенных средних величин= Виды степенных средних величин,

а окончательно получим, что простая средняя гармоническая величина определяется по формуле

Виды степенных средних величинГМ = Виды степенных средних величин,                                                          (1.15) Аналогично выводится формула взвешенной средней гармонической величины, которая имеет следующий окончательный вид через частоты или через доли Виды степенных средних величинГМ = Виды степенных средних величин,                                                  (1.16) Наиболее часто употребляются формулы средних арифметических и гармонических величин.