СВОЙСТВА СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ВЗВЕШЕННОЙ.

Доказано - для экономистов работа с числами очень важный навык. Игоровой тренажер "Продолжи ряд" создан специально для работы с числами в уме. В начале обучения только 2 из 10 проходят тест без ошибок.

Пройти тест

СВОЙСТВА СРЕДНЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ВЗВЕШЕННОЙ.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных

     вариантов на соответствующие частоты.

2. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна

     нулю.

3. Если все осредняемые признаки уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное

    число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на

     ту же величину.

4. Если все варианта значений признака изменить в А раз, то средняя также изменится

    в А раз.

В тех случаях, когда в зависимости от имеющейся информации приходится не умножать, а делить на варианты (значения признака), используют СРЕДНЮЮ ГАРМОНИЧЕСКУЮ.

Средняя гармоническая является величиной, обратной средней арифметической из обратных значений признака.

Чаще всего используют  СРЕДНЮЮ ГАРМОНИЧЕСКУЮ ВЗВЕШЕННУЮ, которая рассчитывается по формуле:

                                     

 Где:             – объем признака;

    Важно понять, что 

Для того чтобы не ошибиться в выборе формулы средней, следует сначала записать (мысленно представить) словесную формулу показателя, среднее значение которого предстоит рассчитать. После этого изучить имеющиеся в распоряжении данные и производить расчет, используя 

                                      

ПРАВИЛО ВЫБОРА СРЕДНЕЙ:

Если  в словесной формуле, по которой рассчитывается показатель, неизвестен числитель, то применяется средняя арифметическая взвешенная, а если неизвестен знаменатель, то используется средняя гармоническая взвешенная.

Иначе: Средняя арифметическая используется в тех случаях, когда связь между признаками прямая, а если связь между признаками обратная, то используют среднюю гармоническую.

УСЛОВИЯ ПРАВИЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ СРЕДНЕЙ

Для того чтобы средняя как можно точнее характеризовала совокупность (была типичной для данной совокупности), необходимо соблюдение следующих условий:

Ø  качественная однородность изучаемой совокупности;

Ø  достаточно большой массив данных, чтобы исключить влияние случайных индивидуальных факторов.

 

ОПИСАТЕЛЬНЫЕ (СТРУКТУРНЫЕ) СРЕДНИЕ

 

МОДА (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака в данной совокупности, т.е. значение признака, которому соответствует наибольшая частота.

В дискретном ряду мода определяется непосредственно, как варианта (х), имеющая наибольшую частоту (или частость).

Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:

                                          

        где:    - начальная (нижняя) граница модального интервала;

                 -   величина интервала;

                 - частота модального интервала;

                -  частота интервала, предшествующего модальному;

                 - частота интервала, следующего за модальным.

МЕДИАНА (Ме)– значение признака, находящееся в середине вариационного ряда.

 Медиана, получается тогда, когда значения признака ранжируют, т.е. выстраивают

 по величине и выбирают число, находящееся в середине.

 МЕДИАНА ДЕЛИТ ЧИСЛЕННОСТЬ РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ДВЕ РАВНЫЕ ЧАСТИ.

   Для нахождения медианы в дискретном ряду сначала определяют ее порядковый номер

, а затем по накопленным частотам определяют числовое значение медианы.

В интервальном ряду по накопленным частотам определяют медианный интервал, т.е. тот интервал, в котором находится значение признака,  делящего ряд распределения пополам.

Значение медианы  ( рассчитывают методом интерполяции по формуле:

                     

где :       - порядковый номер медианы;

              - накопленная частота до медианного интервала;

               - частота медианного интервала.

По аналогии с нахождением  медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда.

Варианты, которые делят ранжированный ряд распределения на 4 равные части, называют

КВАРТИЛЯМИ.

При этом различают:

Ø  нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в отношении 1/ 4 к  3/4;

Ø  верхний (третий) квартиль (Q3) значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении  3/4 к 1/ 4;

Ø  второй квартиль (Q2) есть не что иное, как медиана: Q2 = Ме

Интервалы, в которых содержатся квартили, определяют по накопленным частотам

Нижний и верхний квартили рассчитываются по формулам, аналогичным медиане.

                    

                     

где: -  нижняя граница интервала, содержащего квартиль (соответственно нижний

                  или  верхний);

          

        -  накопленная частота (частость) интервала, предшествующего интервалу,

                         содержащему нижний квартиль;

          - то же для верхнего квартиля;

           

              и   -  частоты (частости)  квартильных интервалов (соответственно

                              нижнего и верхнего).

ДЕЦИЛИ – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей.

Если обозначить децили через D, первый  дециль делит совокупность в соотношении 

1/10 к 9/10, второй дециль – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д.

Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана и квартили.

Значения признака, делящее ряд распределения на 100 частей называют ПЕРЦЕНТИЛЯМИ (ПРОЦЕНТИЛЯМИ).

 

Мода, медиана, квартили, децили, перцентили (процентили)   относят к так называемым порядковым статистикам, под которыми понимают варианту, занимающую  определенное порядковое место в ранжированном ряду (ряду распределения)

Их использование в анализе вариационного ряда позволяет более глубоко  и детально проанализировать  изучаемую совокупность

В статистике уровня жизни населения рассчитывают показатели:

Ø  квартильный коэффициент;

Ø  децильный коэффициент.

Ø   

 КВАРТИЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ – это отношение совокупного дохода 25% богатейшего населения к совокупному доходу 25% беднейшего населения.

 ДЕЦИЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ – это отношение совокупного дохода 10 % богатейшего населения к совокупному доходу 10 % беднейшего населения.

.