Структурные (непараметрические) средние

Доказано - для экономистов работа с числами очень важный навык. Игоровой тренажер "Продолжи ряд" создан специально для работы с числами в уме. В начале обучения только 2 из 10 проходят тест без ошибок.

Пройти тест

Мо – мода.

Ме – медиана (делит ранжированный ряд по середине).

 

Мода – наиболее часто встречающийся вариант ряда или вариант, имеющий max частоту.

 

Для дискретных рядов

 

Мо – определяется по частоте появления вариантов.

 

Пример 13.: Имеем следующие данные:

 

Группировка семей по числу детей, ед. (x)

Число семей, ед. (f)

1

2

0

6

1 (Мо=1)

28

2

22

3

20

4

13

5

8

6 и более

5

Итого:

102

наиболее часто встреч.

 

В интервальных рядах Мо рассчитывается по следующей формуле:

 (Формула 13),

x0нижняя граница модального интервала,

h – величина интервала,

 – частота модального интервала,

 – частота интервала, предшествующему модальному,

 – частота интервала, следующий за модальным.

 

Модальный интервал – это интервал, содержащий модальное значение.

 

 

Пример 14.: Даны данные, рассчитать Мо.

 

Возраст студентов, лет

Число студентов, чел.

1

2

до 20

346

20-25

872

25-30

1054

30-35

781

35-40

212

40-45

121

45 и более

76

Итого:

3462

нижняя граница этого Мо интервала (fmo)

(лет).

Экономическая хар-ка: наиболее часто встречающийся возврат 27 лет.

Медиана – вариант, который делит вариационный ряд таким образом, что все варианты, лежащие слева от Ме меньше по величине, а все варианты, лежащие справа больше по величине.

Медианное значение признака – это значение, приходящееся на середину ранжированного ряда.

Главное свойство Ме: сумма абсолютных отклонений варианта от Ме меньше, чем от любой другой величины:

.

Пример 15.: 9 торговых фирм реализовывали товар по следующим ценам (тыс.руб.): 4,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6.

Проранжируем ряд:

    <   Me   >

4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,4; 4,5; 4,6; 4,6

Мо=4,3 тыс.руб. (дискретный ряд, не расчетная Ме).

 

Медиана фактически выполняет роль средней величины в случае не однородной совокупности.

Она также используется в тех случаях, когда  не позволяет объективно оценить изучаемую совокупность вследствие сильного расхождения max и min значения.

Заработная плата

Пример 16.: Допустим, что необходимо охарактеризовать средний доход группы людей из 100 человек, из которых 99 имеют доходы от 100 до 1000 $ в месяц, а месячный доход последнего сотового составляет 50 тыс. $:

1              2              3              4              …            50            51            …            99            100

100          102          103          104          …            162          164          …            1000     50000

Если взять средне арифметическую, то средний доход составляет 700$ – это не соответствует ни основной группе людей и не соответствует доходу сотового (аномального) человека, т.е. эта цифра ничего не отражает. Поэтому для определения среднего дохода необходимо использовать медианный доход, который 50-51 (полусумма) Ме=163$. Является объективной характеристикой доходов этой группы людей.

Для определения медианы находят номер медианной позиции ряда:

 где

N – номер медианной позиции ряда и

n – число членов ряда, если n – нечетное.

В случае с зарплатой число членов ряда четно 100. В этом случае берется полусумма средних элементов ряда 162+164=163.

.

В случае интервальных рядов медиана находится по следующей формуле:

 где

x0 – нижняя граница медианного интервала;

h – величина интервала;

 – сумма частот, т.е. число членов ряда;

 – частота медианного интервала;

 – сумма накопленных частот интервала, предшествующие медианному.

 

Для определения медианных интервалов необходимо найти накопленные частоты и анализировать каждый интервал до тех пор пока его накопленная частота не превысит полу-суммы накопленных частот по Мо.

Пример 17.:

x

f

S

1

2

3

до 20

346

346

20-25

872

1218

25-30

1054

2272

30-35

781

3053

35-40

212

3265

40-45

121

3386

45 и более

76

3462

Итого:

3462

1731

т.е. одна половина студентов моложе 27,4 года, а другая половина старше 27,4 года.

 

ГРАФИК Мо, а Ме см. вначале этой лекции.

 

 


        Ме

 


                   2 кв.     3/4

 

         1 кв.   Ме      3 кв.

                   3/4

Кроме Мо и Ме используется квартиль, который делит ранжированный ряд на 4 равные части, 2-й квартиль и есть Ме.

Дециль – 10 частей, перцентиль – 100 частей.

«13» октября 2007 г.

Пример 18: по оценкам студентов рассчитать средний балл студентов в целом.

Расчет x средне арифметической

Балл (х)

Число студентов (f)

Сумма баллов (xf)

Удельный вес (d для числа студентов в %)

Сумма баллов в долях (xd)

Удельный вес (d' численность студентов)

xd'

А

1

2

3=1*2

5=1*4

7=1*6

I

5

4

20

20,0

100

0,2

1,0

II

4

10

40

50,0

200

0,5

2,0

III

3

6

18

30,0

90

0,3

0,9

Итого:

20

78

100,0

390

1,0

3,9

Решение, 1-й способ:

Решение, 2-й способ:

Решение, 3-й способ:

Расчет x средне гармонической

Балл (х)

Сумма баллов (M=xf)

Число студентов, чел. (M/x) (частота)

Удельный вес суммы баллов в %

А

1

2

3=2/1

4

I

5

20

4

25,64

II

4

40

10

51,28

III

3

18

6

23,08

Итого:

78

20

100,00

Решение, 1-й способ:

Решение, 2-й способ: