Средне арифметическое и средне гармоническое  (гармоникал)

Доказано - для экономистов работа с числами очень важный навык. Игоровой тренажер "Продолжи ряд" создан специально для работы с числами в уме. В начале обучения только 2 из 10 проходят тест без ошибок.

Пройти тест

Средне арифметическое – параметр, который характеризует средний уровень явления.

Бывает взвешенное и не взвешенное средне арифметическое.

 (Формула 3)

 – не взвешенная;

 (Формула 4)

 – взвешенная.

 

Пример 5. Имеется зарплата офис-менеджера в нефтяной компании (тыс. руб. в месяц). Рассчитать среднюю зарплату в неделю. Для расчета воспользуемся средне арифметической не взвешенной, где n – количество единиц в совокупности (см. формулу 3), получим:

Пример 6. Имеются данные о зарплате строителей в месяц. Рассчитать среднюю зарплату в месяц.

зарплата в мес., т.руб.

число строителей, чел.

1

2

32

20

33

35

34

14

40

6

Итого:

75

Варианты решения:

1. наглядный расчет:

xf

640

1155

476

240

2511

2. по формуле 4, по дискретному ряду рассчитываем средне взвешенную.

 (тыс.руб.)

 

Пример 7.: Требуется определить средний возраст студента заочной формы обучения по данным, заданным в следующей таблице:

 

Возраст студентов, лет (х)

Число студентов, чел (f)

среднее значение интервала (x',xцентральн)

xi*fi

1

2

3

4

до 20

65

(18+20)/2=19 

19*65=1235

20-22

125

21

2625

22-24

190

23

4370

24-26

80

25

2000

26 и старше

40

27

1080

Итого:

500

 

11310

 

Для вычисления средней в интервальных рядах сначала определяют среднее значение интервала как полу-сумму верхней и нижней границы, а затем рассчитывается средняя величина по формуле средне арифметическая взвешенная.

 

Выше дан пример с равными интервалами, причем 1-й и последний являются открытыми.

.

Ответ: средний возраст студента составляет 22,6 года или примерно 23 года.

Пример 8.: по примеру 7, только с неравными интервалами:

Возраст студентов, лет (х)

Число студентов, чел (f)

среднее значение интервала (x',xцентральн)

xi*fi

1

2

3

4

до 20

65

(18+20)/2=19

19*65=1235

20-22

125

21

2625

22-26

190

24

4560

26-30

80

28

2240

старше 30

40

(30+34)/2=32

1280

Итого:

500

 

11940

соседн.интервал

.

Основное свойство средне арифметической

Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных вариантов значений признака от средней величины равной 0, т.е.

 

 (Формула 5)

 – отклонение каждого признака от средней величины.

 

 

 (Формула 5)

 – для взвешенной формулы.

 

Существует еще много других свойств средней величины, но нам необходимо «нулевое» свойство.

 

Средне гармоническое

Используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот (f) по отдельным вариантам, а содержит произведение вариантов на частоты, т.е. xi*fi=Mi, тогда формула средне гармонической имеет вид:

 

1. средняя гармоническая простая не взвешенная:

 (Формула 6).

2. средне гармоническая взвешенная:

 (Формула 7).

 

Пример 9.: необходимо рассчитать среднюю цену продажи трех товаров в городе, по данным, указанным в таблице:

 

Товар

Цена, руб. (х)

Сумма реализации, тыс.руб. (xi*fi=Mi)

Частоты (fi=Mi/xi)

1

2

3

4

А

30

600

20

В

20

1000

50

С

35

350

10

Итого:

 

1950

 

 

Обычно для того, чтобы вычислить среднюю величину пользуются логической формулой, необходимой для решения этой статистической задачи.

В нашем случае количество реализованного товара – это есть сумма реализации к средней цене.

 

В рассматриваемом примере числитель логической формулы известен, а знаменатель нет. Чтобы его найти воспользуемся формулой средне гармонической взвешенной (формула 7), т.к. цена различна:

(руб.) – средняя цена всех зубных паст (тюбиков).

Формулу средне гармонической взвешенной тут применить нельзя .

Средне арифметическое  – расчет неверен.

Если прибегнем к средне арифметической взвешенной, то выйдем на нашу формулу, но сейчас эти частоты получили расчетным путем.

Если применить формулу средне арифметической , то величина не отображает объем реализации и является нереальной.

 

Пример 10. на гармоническую величину. Две машины осуществляют поставку товара. Они прошли один и тот е путь. Первая со скоростью 60 км/ч, а вторая машина – 80 км/ч. Вычислить среднюю скорость машин.

 

fi=2;                                                                                          xifi=Mi

 – обратное значение варианта по формуле 6;               

 км/ч                                                               ,

Если применить формулу средней арифметической, то расчетная величина 70 км/ч не отражает реальную величину 68,6 км/ч.