Аналитическое выравнивание динамических рядов

Доказано - для экономистов работа с числами очень важный навык. Игоровой тренажер "Продолжи ряд" создан специально для работы с числами в уме. В начале обучения только 2 из 10 проходят тест без ошибок.

Пройти тест

Посредством аналитического выравнивания по способу наименьших квадратов устанавливается не только общая тенденция развития явления, но и дается количественная характеристика изменения уровней ряда. В основе этого способа лежит предположение о том, что зависимость между уровнями ряда  и фактором времени  может быть аналитически описана соответствующим уравнением. Уравнение, в котором в качестве независимой переменной берется фактор времени , называется уравнением тренда.

В том случае, когда развитие происходит по закону равномерного движения (возрастания или убывания), то такой тип зависимости можно выразить уравнением тренда прямой. Исходный уровень ряда динамики аналитически представим:

где yt – уровень ряда динамики;

     - основная тенденция ряда;

     - случайная компонента.

Уравнение тренда отражает влияние главных факторов на динамику явлений. Случайная компонента определяется действием случайных причин.

Выравнивание начинается с теоретического анализа динамического ряда, в результате которого устанавливается характер динамики и тип уравнения тренда.

Применительно к динамическим рядам уравнение тренда прямой запишем в таком виде:

      - уровень изучаемого явления в момент времени t;

t – порядковый номер времени;

а0 и а1 – параметры уравнения.

Параметр а0 означает осредненное значение начальной точки отсчета; а1 – коэффициент регрессии, показывающий на какую величину в среднем изменится (увеличится или уменьшится) значение уровня ряда динамики при изменении фактора времени на единицу периода.

Параметры уравнения а0 и а1 находятся по способу наименьших квадратов:

Поскольку, то

В результате математических преобразований получим следующую систему нормальных уравнений:

В целях облегчения нахождения параметров а0 и а1 систему можно упростить; для этого отсчет времени следует вести так, чтобы ,  При таком обозначении фактора времени в рядах динамики с нечетным числом уровней отсчета ведется от центра, взятого за ноль. Вверх пойдут номера –1, -2, - 3 и т.д. вниз симметрично – со знаком полюс +1, +2, +3 и т.д. В рядах динамики с четным числом уровней будем иметь: вверх от центра ряда –1, -3, -5 и т.д.; вниз соответственно +1, +3, +5 и т.д.

В результате такой преобразовательной нумерации фактора времени параметры уравнения тренда прямой вычислим по формулам:

;          .

Выравняем ряд производства холодильников в Республике Беларусь за 1990 – 2004 гг. (табл. 5.4, гр. 9-12). Подставив найденные значения в формулы определения a0 и a1, получим:

;        

.

Искомое уравнение тренда производства холодильников и морозильников примет вид:

.

Подставив в уравнение значений фактора времени , получим выравненные (сглаженные) значения уровней ряда . При этом следует иметь в виду, что a0 – уровень производства холодильников и морозильников при , то есть в 1997 г., a1 – среднегодовой абсолютный прирост

Совпадение итогов эмпирических  и теоретических уровней  свидетельствует о правильности произведенных расчетов, т.е. (несовпадение на 0,7 тыс. шт. произошло за счет округлений).

В математической статистике доказано, что в рядах динамики с нечетным числом уровней значение  можно вычислить по формуле:

, а в рядах динамики с четным числом уровней – по формуле: .

Мерой оценки колеблемости эмпирических уровней ряда динамики от теоретических выступает среднее квадратическое отклонение, исчисляемое по формуле:

,

где n – число уровней ряда;

m – число параметров уравнения тренда.

Относительным показателем оценки колеблемости выступает коэффициент вариации:

.

Вычислим приведенные показатели колеблемости по данным табл. 5.34 (гр. 13 – 14):

;

.

Выбор уравнения тренда для оценки характера развития того или иного процесса в экономике может быть дан на основе сравнения фактических уровней динамического ряда с эталонами, используя которые можно различать типы развития процессов во времени.

По определенности экономического смысла и возможности последующей содержательной интерпретации результатов математических расчетов целесообразно выделить четыре типа развития экономических явлений во времени, каждому из которых соответствует определенная математическая модель (уравнение тренда).

Равномерное развитие, то есть движение осуществляется по закону арифметической прогрессии с постоянным абсолютным изменением уровней динамического ряда. Эталонной моделью развития этого типа служит уравнение равномерного движения. Этому типу движения соответствует уравнение тренда прямой:

.

Порядок расчета параметров уравнения тренда прямой a0 и a1 рассмотрен выше. Если , то уровни динамического ряда возрастают, а при  они снижаются во времени.

Равноускоренное (равнозамедленное) развитие, т.е. с постоянным во времени ускорением (замедлением). Эталонной моделью служит уравнение параболы второго порядка:

.

При  имеет место наличие ускорения развития процесса, а при  - его замедление.

Параметры уравнения a0 , a1 и a2 найдем из системы нормальных уравнений:

При условии, что значения параметров уравнения параболы определим:

, а значения параметров a0 и a2 – из системы уравнений: