Индивидуальные индексы

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если не имеет значения структура изучаемого явления. Индивидуальные индексы обозначаются i. Расчет индивидуальных индексов прост: их определяют вычислением отношения двух индексируемых величин, то есть по формуле (2).

Например, если уровень товарооборота  в виде суммы выручки от продажи товара в условиях отчетного периода сравнивается с аналогичным показателем базисного периода, то в итоге получаем индивидуальный индекс выручки (170), показывающий во сколько раз изменилась (или сколько процентов составляет)  выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным:

iQ=Q1/Q0.                                                                    (170)

Разность между числителем и знаментелем формулы (170) представляет собой абсолютное изменение выручки (171), показывающее на сколько в денежных единицах (например, рублях) изменилась выручка в отчетном периоде по сравнению с базисным:



Q = Q1 – Q0.                                                             (171)

Аналогично определяются индивидуальные индексы можно для любого интересующего показателя (производительности, заработной платы, себестоимости и т.д.).

В частности, поскольку сумма выручки определяется ценой товара p (от англ. «price») и количеством (физическим объемом, или объемом продаж в натуральном выражении) q (от англ. «quantity») т.е.  можно определить соответствующие индивидуальные индексы – цены (172) и количества (173):

ip=p1/p0,                       (172)                                                                   iq=q1/q0.                                (173)

Очевидно, что произведение индивидуальных индексов цены и количества дает индивидуальный индекс выручки (174):

iQ=iqip.                                                                      (174)

Например, вчера бабушка торговала семечками по 5 руб. за кулёк и всего продала 50 кульков, а сегодня – по 7 руб. и продала 20 кульков. Определим индивидуальный индекс цены по формуле (172): ip= 7/5 = 1,4, то есть бабушка увеличила цену семечек в 1,4 раза, или на 40%. Рассчитаем индивидуальный индекс количества по формуле (173): iq = 20/50 = 0,4, то есть количество проданных семечек сегодня составило 40% от вчерашнего, то есть уменьшилось на 60%. Найдем индивидуальный индекс выручки по формуле (174): iQ = 0,4*1,4 = 0,56, то есть выручка сегодня составила 56% от вчерашней, то есть она уменьшилась на 44%. Рассчитав выручку вчера Q0 = 50*5 = 250 (руб.) и сегодня Q1 = 20*7 = 140 (руб.), можно получить аналогичный результат по формуле (170): iQ = 140/250 = 0,56. Очевидно, что абсолютное изменение выручки по формуле (171) составило: ∆Q = 140 – 250 = –110 (руб.), то есть выручка уменьшилась на 110 руб. (или на 44%), что объясняется изменением количества проданных семечек в 0,4 раза (уменьшением на 60%) и изменением их цены в 1,4 раза (повышением цены на 40%).

Подставим формулу (170) в формулу (174) и выразим выручку отчетного периода:

Q1=iqipQ0.                                                                   (175)

Формула (175) представляет собой двухфакторную мультипликативную индексную модель итогового показателя, в данном случае – выручки, посредством которой находят изменение этого показателя под влиянием каждого фактора (цены и количества) в отдельности (факторный анализ), то есть:

Q = ∆Qq + Qp,                                                             (176)

где ∆Qq – изменение выручки под влиянием изменения количества товара q (экстенсивный фактор);

      ∆Qp – изменение выручки под влиянием изменения цены p товара (интенсивный фактор).

Для проведения факторного анализа по формуле (176) необходимо определить очередность влияния факторов на результативный показатель (выручку), которая может быть следующей:

1) сначала менялось количество q, а затем цена p (то есть количество – это 1-ый фактор, а цена – 2-ой)[54];

2) сначала менялась цена p, а потом количество q (то есть цена – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой).

В соответствии с этой очередностью влияния факторов запись факторов в мультипликатиавной модели: то есть формула (175) – это ее запись для количества как 1-го фактора и цены как 2-го. В случае, когда цена является 1-ым фактором, а количество – 2-ым, необходимо мультипликативную модель записывать в виде (177), то есть меняя факторы местами:

Q1=ipiqQ0.                                                                   (177)

Чтобы найти изменение результативного показателя на основе мультипликативной модели за счет 1-го фактора, необходимо исключить влияние остальных факторов. Тогда при использовании формулы (175) влияние 1-го определяем по формуле (178), а при использовании формулы (177) – по формуле (179):

Qq= iqQ0 –Q0 = (iq – 1)Q0,          (178)                                     ∆Qp= ipQ0 –Q0 = (ip – 1)Q0.             (179)

В нашем примере про бабушку сначала изменилась цена, то есть цена – это 1-ый фактор, а количество – 2-ой, значит необходимо использовать формулу (177) и, как следствие, влияние 1-го фактора – цены определяем по формуле (179): ∆Qp= (1,4–1)*250 = 100 (руб.), то есть повышение цены семечек с 5 до 7 руб. за кулёк  должно было увеличить сегодняшнюю выручку на 100 руб., однако выручка уменьшилась на 110 руб., значит – это отрицательное влияние 2-го фактора – изменение количества.

Чтобы найти изменение результативного показателя на основе мультипликативной модели за счет 2-го фактора, необходимо из общего изменения результативного показателя вычесть его изменение под влиянием только 1-го фактора. Тогда, подставляя формулы (171) и (178) в формулу (176), можно выразить влияние второго фактора – цена:

Qp = Q – ∆Qq = (Q1 – Q0) – (iqQ0 –Q0) = iqipQ0 – Q0 iqQ0 +Q0 = (iqip – 1 – iq + 1)Q0 = iq (ip–1)Q0.

В итоге получим формулу для расчета влияния второго фактора – цена (180):

Qp = iq (ip–1)Q0.                                                              (180)

Аналогично, подставляя формулы (171) и (177) в формулу (176) выводится формула для определения влияния второго фактора – количества:

Qq = Q – ∆Qp = (Q1 – Q0) – (ipQ0 –Q0) = ipiqQ0 – Q0 ipQ0 +Q0 = (ipiq – 1 – ip + 1)Q0 = ip (iq–1)Q0.

В итоге получим формулу для расчета влияния второго фактора – количества (181):

Qq = ip (iq–1)Q0.                                                              (181)

В нашем примере про бабушку изменение выручки под влиянием второго фактора – количества определим по формуле (181): ∆Qq = 1,4*(0,4–1)*250 = –210 (руб.), то есть снижение количества проданных семечек с 50 кульков до 20 уменьшило выручку на 210 руб. Проверка правильности расчета влияния факторов осуществляется по формуле (176): ∆Q = 100 + (–210) = –110, что совпадает с общим изменением выручки, рассчитанным ранее по формуле (171).

В статистике нередки случаи использования индексных моделей с тремя и более факторными индексами[55]. В случае необходимости проведения факторного анализа таких моделей применяется метод Чалиева: для определения влияния i-го фактора на результативный показатель необходимо его базисную величину умножить на индексы факторов, влиявших на него с 1-го до i-го фактора и на темп изменения самого i-го фактора. Темп изменения определяется по формуле (80), то есть надо из индекса вычесть единицу (100%).

Например, общая сумма материальных затрат (M) зависит от объема производства продукции (q), от расхода данного материала на единицу продукции – удельного расхода (m) и от цены единицы данного материала (p) т.е. M = qmp. Сравнивая сумму материальных затрат в отчетном периоде с суммой материальных затрат базисного периода получаем (если q - 1-ый фактор, m – 2-ой и p – 3-ий):

 или                                     (182)

Тогда, применяя метод Чалиева, изменение общей суммы материальных затрат ∆M = M1 – M0 объясняется:

1) изменением объема продукции ∆Mq = TqM0 = (iq – 1)M0;

2) изменением удельного расхода материала ∆Mm = iqTmM0 = iq(im – 1)M0;

3) изменением цены на материал ∆Mp = iqimTpM0 = iqim(ip – 1)M0.