Напишем:


✔ Реферат от 200 руб., от 4 часов
✔ Контрольную от 200 руб., от 4 часов
✔ Курсовую от 500 руб., от 1 дня
✔ Решим задачу от 20 руб., от 4 часов
✔ Дипломную работу от 3000 руб., от 3-х дней
✔ Другие виды работ по договоренности.

Узнать стоимость!

Не интересно!

Коэффициенты корреляции рангов

Коэффициенты корреляции рангов – это менее точные, но более простые по расчету непараметрические показатели для измерения тесноты связи между двумя коррелируемыми признаками. К ним относятся коэффициенты Спирмэна (ρ) и Кендэла (τ), основанные на корреляции не самих значений коррелируемых признаков, а их рангов – порядковых номеров, присваиваемых каждому индивидуальному значению х и у (отдельно) в ранжированном ряду. Оба признака необходимо ранжировать (нумеровать) в одном и том же порядке: от меньших значений к большим и наоборот. Если встречается несколько значений х (или у), то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов (мест в ряду), приходящихся на эти значения, на число равных значений. Ранги признаков х и у обозначают символами Rx и Ry (иногда Nx и Ny). Суждение о связи между изменениями значений х и у основано на сравнении поведения рангов по двум признакам параллельно. Если у каждой пары х и у ранги совпадают, это характеризует максимально тесную связь. Если же наблюдается полная противоположность рангов, т.е. в одном ряду ранги возрастают от 1 до n, а в другом – убывают от n до 1, это максимально возможная обратная связь. Подходы для оценки тесноты связи у Спирмэна и Кендэла  несколько различаются. Для расчета коэффициента Спирмэна значения признаков х и у нумеруют (отдельно) в порядке возрастания от 1 до n, т.е. им присваивают определенный ранг (Rx и Ry) – порядковый номер в ранжированном ряду. Затем для каждой пары рангов находят их разность (обозначается как d= RxRy), и квадраты этой разности суммируют.

,                                                                          (147)

где       d – разность рангов х и у;

            n – число наблюдаемых пар значений х и у.

Коэффициент ρ может принимать значения от 0 до ±1. Следует иметь в виду, что, поскольку коэффициент Спирмэна учитывает разность только рангов, а не самих значений х и у, он менее точен по сравнению с линейным коэффициентом. Поэто­му его крайние значения (1 или 0) нельзя безоговорочно расцени­вать как свидетельство функциональной связи или полного от­сутствия зависимости между х и у. Во всех других случаях, т.е. когда ρ не принимает крайних зна­чений, он довольно близок к r.

Формула        (147) применима строго теоретически только тогда, когда отдельные значения х у), а следовательно, и их ранги не повторяются. Для случая повторяющихся (связанных) рангов есть другая, более сложная формула, скорректированная на число по­вторяющихся рангов. Однако опыт показывает, что результаты расчетов по скорректированной формуле для связанных рангов мало отличаются от результатов, полученных по формуле для не­повторяющихся рангов. Поэтому на практике формула    (147) ус­пешно применяется как для неповторяющихся, так и для повто­ряющихся рангов.

Коэффициент корреляции рангов Кендэла τ строится несколь­ко по-другому, хотя его расчет также начинается с ранжирования значений признаков х и у. Ранги х (Rx) располагают строго в порядке возрастания и па­раллельно записывают соответствующее каждому Rx значение Ry. Поскольку Rx записаны строго по возрастанию, то ставится задача определить меру соответствия последовательности Ry «пра­вильному» следованию Rx. При этом для каждого Ry последо­вательно определяют число следующих за ним рангов, превыша­ющих его значение, и число рангов, меньших по значению. Первые («правильное» следование) учитываются как баллы со знаком «+», и их сумма обозначается буквой Р. Вторые («непра­вильное» следование) учитываются как баллы со знаком «–», и их сумма обозначается буквой Q. Очевидно, что максимальное значение Р достигается в том слу­чае, если ранги y (Ry) совпадают с рангами х (Rx) и в каждом ряду представляют ряд натуральных чисел от 1 до п. Тогда после первой пары значений Rx = 1 и Ry = 1 число превышения данных значений рангов составит (n – 1), после второй пары, где Rx = 2 и Ry = 2, соответственно (п – 2) и т.д. Таким образом, если ранги х и у совпадают и число пар рангов равно n, то

.

Если же последовательность рангов х и у имеет обратную тенденцию по отношению к последовательности рангов х, то Q будет такое же максимальное значение по модулю:

.

Если же ранги у не совпадают с рангами х, то суммируются все положительные и отрицательные баллы (S=P+Q); отношение этой суммы S к максимальному значению одного из слагаемых и представляет собой коэффициент корреляции рангов Кендэла τ, т.е.:

.                                                               (148)

Формула коэффициента корреляции рангов Кендэла (148) применяется для случаев, когда отдельные значения признака (как х, так и у) не повторяются и, следовательно, их ранги не объе­динены. Если же встречается несколько одинаковых значений х (или у), т.е. ранги повторяются, становятся связанными, коэффици­ент корреляции рангов Кендэла определяется по формуле:

,                                                  (149)

где       S – фактическая общая сумма баллов при оценке +1 каж­дой пары рангов с одинаковым порядком изменения и –1 каждой пары рангов с обратным порядком изме­нения;

             – число баллов, корректирующих (уменьшающих) максимальную сумму баллов за счет повторений (объединений) t рангов в каждом ряду.

Отметим, что случаи следования одинаковых повторяющихся рангов (в любом ряду) оцениваются баллом 0, т.е. они не учиты­ваются при расчете ни со знаком «+», ни со знаком «–».

Преимущества ранговых коэффициентов корреля­ции Спирмэна и Кендэла: они легко вычисляются, с их помощью можно изучать и измерять связь не только между количественны­ми, но и между качественными (описательными) признаками, ранжированными определенным образом. Кроме того, при ис­пользовании ранговых коэффициентов корреляции не требуется знать форму связи изучаемых явлений.

Если число ранжируемых признаков (факторов) больше двух, то для измерения тесноты связи между ними можно использовать предложенный М. Кендэлом и Б. Смитом коэффициент конкордации (множественный коэффициент ранговой корреляции):

,                                                                       (150)

где       S   —  сумма квадратов отклонений суммы т рангов от их средней величины;

т  —  число ранжируемых признаков;

п   —  число ранжируемых единиц (число наблюдений).

Формула (150) применяется для случая, кода ранги по каж­дому признаку не повторяются. Если же есть связанные ран­ги, то коэффициент конкордации рассчитывается с учетом числа таких повторяющихся (связанных) рангов по каждому фактору:

,                                                            (151)

где t – число одинаковых рангов по каждому признаку.

Коэффициент конкордации W может принимать значения от 0 до 1. Однако, необходимо проверить его на существенность (значимость) с помощью критерия χ2 при отсутствии связанных рангов по формуле (152), а при их наличии – по формуле (153):

,         (152)                            .                           (153)

Фактическое значение χ2 сравнивается с табличным, соответ­ствующим принятому уровню значимости α (0,05 или 0,01) и числу степеней свободы v = п – 1. Если χ2факт > χ2табл, то W – существенен (значим).

Коэффициент конкордации особенно часто используется в экспертных оценках, например, для того, чтобы определить сте­пень согласованности мнений экспертов о важности того или иного оцениваемого показателя или составить рейтинг отдельных единиц по какому-либо признаку. В формуле (150) в этих случаях т означает число экспертов, а n — число ранжируемых единиц (или признаков).