Напишем:


✔ Реферат от 200 руб., от 4 часов
✔ Контрольную от 200 руб., от 4 часов
✔ Курсовую от 500 руб., от 1 дня
✔ Решим задачу от 20 руб., от 4 часов
✔ Дипломную работу от 3000 руб., от 3-х дней
✔ Другие виды работ по договоренности.

Узнать стоимость!

Не интересно!

Проверка соответствия ряда распределения нормальному

Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов, другими словами, теоретическое распределение может быть выражено аналитически – формулой, которая связывает частоты и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения. Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими.

            Как уже неоднократно отмечалось, часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным. Формула функции плотности нормального распределения имеет следующий вид (41):

 или                                        (41)

где      X                    – значение изучаемого признака;

                               – средняя арифметическая ряда;

             σ                    – среднее квадратическое отклонение;

                 – нормированное отклонение;

             π = 3,1415     – постоянное число (отношение длины окружности к ее диаметру);

             e = 2,7182      – основание натурального логарифма.

Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам – средней арифметической и среднему квадратическому отклонению. Поэтому важно выяснить, как эти параметры влияют на вид нормальной кривой.

            Если  не меняется, а изменяется только σ, то чем меньше σ, тем более вытянута вверх кривая и наоборот, чем больше σ, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая нормального распределения (см. рис. 8).

X

 

σ1

 

σ2

 

σ3

 

= const

σ1 < σ2 < σ3

 

X

 

f(X)

 

 

Рис. 8. Влияние величины σ на кривую нормального распределения

Если σ остается неизменной, а  изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (вершины) (см. рис. 9).

f(X)

 

 <  <

 

 

 

 

σ = const

 

 


Рис. 9. Влияние величины  на кривую нормального распределения

            Итак,  выделим особенности кривой нормального распределения:

1)      кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению  = Ме = Мо;

2)      кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности (чем больше отдельные значения X отклоняются от , тем реже они встречаются);

3)      кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± σ от ;

4)      коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

            Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в изучаемой совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению.

            Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о логнормальном, биномиальном распределениях, распределении Пуассона и пр.[21] Причина частого обращения к нормальному распределению состоит в том, что, как уже было замечено ранее, в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из не имеет преобладающего влияния.

            В нашем примере про ВО близость значений средней арифметической величины (60,82), медианы (59,30) и моды (58,96) указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону.

            Проверка гипотезы о соответствии теоретическому распределению предполагает расчет теоретических частот этого распределения.

            Для нормального распределения порядок расчета этих частот следующий:

1)      по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда   и среднее квадратическое отклонение σ;

2)      находят нормированное (выраженное в σ) отклонение каждого эмпирического значения от средней арифметической:

;                                                          (42)

3)      по формуле (41) или с помощью таблиц интеграла вероятностей Лапласа находят значение φ(t)[22];

4)      вычисляют теоретические частоты m по формуле:

,                                                    (43)

где N – объем совокупности, hi – длина (размах) i-го интервала.

            Определим теоретические частоты нормального распределения в нашем примере про ВО по данным табл. 12, для чего построим вспомогательную таблицу 14. Средняя арифметическая величина и среднее квадратическое отклонение нами уже найдены ранее (); значения нормированных отклонений t рассчитаны в 5-м столбце таблицы 14, а значения плотностей φ(t) – в 8-м столбце (в 6-м и 7-м столбцах приведены промежуточные расчеты по формуле (41)); в последнем столбце – теоретические частоты нормального распределения.

Таблица 14. Расчет теоретических частот нормального распределения

i

Xi

fi

Хi’

φ(t)

mi

1

24,16 – 38,66

5

31,41

-1,4889

-1,1084

0,3301

0,0067

3,383

2

38,66 – 53,16

7

45,91

-0,7549

-0,2850

0,7520

0,0152

7,707

3

53,16 – 67,66

13

60,41

-0,0210

-0,0002

0,9998

0,0202

10,246

4

67,66 – 82,16

4

74,91

0,7130

-0,2542

0,7756

0,0157

7,948

5

82,16 – 96,66

4

89,41

1,4470

-1,0468

0,3510

0,0071

3,598

6

96,66 – 111,16

2

103,91

2,1809

-2,3782

0,0927

0,0019

0,950

 

Итого

35

 

 

 

 

 

33,832

Сравним на графике эмпирические f  (ВО по таможенным постам) и теоретические m (нормальное распределение) частоты, полученные на основе данных табл. 14 (рис. 10). Близость этих частот очевидна[23], но объективная оценка их соответствия может быть получена только с помощью критериев согласия.

Рис. 10. Распределение ВО по таможенным постам (эмпирическое) и нормальное

            Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда – существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

            Существует ряд критериев согласия, но чаще всего применяют критерии Пирсона χ2, Колмогорова и Романовского.

            Критерий согласия Пирсона χ2  (хи-квадрат) – один из основных критериев согласия, рассчитываемый по формуле (44):

,                                                                       (44)

где      k          – число интервалов;

             fi            – эмпирическая частота i-го интервала;

            mi            – теоретическая частота.

Для распределения χ2 составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия χ2 для выбранного уровня значимости α и данного числа степеней свободы ν (см. Приложение 3).

            Уровень значимости α  – это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность (P) того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

1)      α = 0,10, тогда P = 0,90;

2)      α = 0,05, тогда P = 0,95 [24];

3)      α = 0,01, тогда P = 0,99.

            Число степеней свободы ν определяется по формуле:

ν = k – z – 1,                                                                                 (45)

где      k          – число интервалов;

            z              – число параметров, задающих теоретический закон распределения.

Для нормального распределения z = 2, так как нормальное распределение зависит от двух параметров – средней арифметической () и среднего квадратического отклонения (σ).

            Для оценки существенности расхождений расчетное значение χ2 сравнивают с табличным χ2табл. Расчетное значения критерия  должно быть меньше табличного, т.е. χ2<χ2табл, в противном случае расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением не случайны, а теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

            Использование критерия χ2 рекомендуется для достаточно больших совокупностей (N>50), при этом частота каждой группы не должна быть менее 5, в противном случае повышается вероятность получения ошибочных выводов.

            В нашем примере про ВО для расчета критерия χ2 построим вспомогательную таблицу 15.

Таблица 15. Вспомогательные расчеты критериев согласия

i

Xi

fi

mi

fi’

mi’

|fi’– mi’|

1

24,16 – 38,66

5

3,383

0,773

5

3,383

1,617

2

38,66 – 53,16

7

7,707

0,065

12

11,090

0,910

3

53,16 – 67,66

13

10,246

0,740

25

21,336

3,664

4

67,66 – 82,16

4

7,948

1,961

29

29,284

0,284

5

82,16 – 96,66

4

3,598

0,045

33

32,882

0,118

6

96,66 – 111,16

2

0,950

1,160

35

33,832

1,168

 

Итого

35

33,832

4,744

 

 

 

Теперь по формуле (44): χ2 =4,744, что меньше табличного (Приложение 3) значения χ2табл=7,8147 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы ν=6–2–1=3, значит с вероятностью 0,95 можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины ВО по таможенным постам лежит закон нормального распределения, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.

            Критерий Романовского КР основан на использовании критерия Пирсона χ2, т.е. уже найденных значений χ2 и числа степеней свободы ν, рассчитывается по формуле (46):

.                                                                       (46)

Он используется в том случае, когда отсутствует таблица значений χ2. Если КР < 3, то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны, если КР > 3, то не случайны, и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

            В нашем примере про ВО по формуле (46): = 0,712 < 3, что подтверждает несущественность расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

            Критерий Колмогорова λ основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений (D), рассчитывается по формуле (47) [25]:

.                                                                          (47)

Рассчитав значение λ, по таблице P(λ) (см. Приложение 6) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность P(λ) может изменяться от 0 до 1. При P(λ) = 1 (т.е. при λ < 0,3) происходит полное совпадение частот, при P(λ) = 0 – полное расхождение.

            В нашем примере про ВО в последних трех столбцах таблицы 15 приведены расчеты накопленных частот и разностей между ними, откуда видно, что в 3-ей группе наблюдается максимальное расхождение (разность) D = 3,664. Тогда по формуле (47): . По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при λ = 0,6: P = 0,86 (наиболее близкое значение к 0,619), т.е. с вероятностью, близкой к 0,86, можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины ВО по таможенным постам лежит закон нормального распределения, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

            Итак, подтвердив правильность выдвинутой гипотезы с помощью известных критериев согласия, можно использовать результаты распределения для практической деятельности. Какое же практическое значение может иметь произведенная проверка гипотезы? Во-первых, соответствие нормальному закону позволяет прогнозировать, какое число таможенных постов (или их доля) попадет в тот или иной интервал значений величины ВО. Во-вторых, нормальное распределение возникает при действии на вариацию изучаемого показателя множества независимых факторов. Из чего следует, что нельзя существенно снизить вариацию величины ВО, воздействуя только на один-два управляемых фактора, скажем число работников таможенного поста или степень технической оснащенности.