Свойства средней арифметической и дисперсии

В статистических расчетах эти характеристики статистической сово­купности зачастую применяются во взаимодействии. При этом с целью приведения их к удобному для анализа виду при громоздких значениях статистических величин используют следующие свойства.

1. Если каждую статистическую величину изменить на одно число (прибавить или отнять), то средняя арифметическая изменится на это число, а дисперсия при этом не изменится.

2.    Если каждую статистическую величину изменить в одинаковое число раз (умножить или разделить), то средняя арифметическая изме­нится во столько же раз, а дисперсия изменится в квадрат таких раз.

Доказать эти свойства можно путем математических преобразований соответствующих формул, но гораздо проще доказательство получается с помощью следующего численного примера.

Принимая предыдущие три статистические величины с их значения­ми 2, 4, и 6, сначала прибавим к каждой из них 5, а потом умножим ка­ждую из них на 5. Тогда получим измененные значения статистических величин, представленные матрицей

X1=2;                       X1’=2+5=7;               X1’’=2*5=10.

X2=4;                       X2’=4+5=9;               X2’’=4*5=10.

X3=6;                       X3’=6+5=11;             X3’’=6*5=30.

= 4;                     ’=9;                       ’’=20.

Д=2,67;                   Д’=2,67;                     Д’’=66,67.

В этой матрице значения средних арифметических очевидны, а пер­воначальное значение дисперсии было найдено в предыдущем примере. Расчет других ее значений приведен ниже по логической формуле (1.24)

Д’= ((7-9)2 + (9-9)2 + (11-9)2)/3 = 2,67

Д’’= ((10-20)2 + (20-20)2 + (30-20)2)/3 = 66,67

Отмечаем, что отношение 66,67/2,67 дает ровно 25 или 52. То есть при увеличении каждой статистической величины в 5 раз дисперсия увеличилась в 25 раз. Аналогичные численные доказательства можно выполнить и в случаях противоположного изменения статистических величин.